viernes, 29 de agosto de 2008

Matemáticas y realidad

La expresión 1+1=2 parece tener un significado único y preciso. No es el caso. Haré hincapié en dos de sus posibles significados.

Dicha expresión establece una relación entre los conceptos universales “uno”, “dos”, “mas” e "igual". Esta relación es a su vez universal y su significado es intuitivamente cierto para cualquiera que la considere, al margen de su cultura y conocimientos matemáticos. Incluso algunos animales podrían ser conscientes de ella. Todo esto al margen de ejemplos que se pudieran dar de situaciones en que uno mas uno no fueran realmente dos. Es lo que Kant llamaría un juicio sintético a priori.

El otro significado que consideraré se refiere a una relación matemática entre los llamados números naturales. Para mostrarla necesitamos definir con precisión el significado de los símbolos "1", "2" y "+".


Peano estableció un grupo de 5 axiomas que caracterizan completamente dichos números naturales. Solo necesitaremos 2 de ellos:

  • "1" es un número natural (ésta es otra forma de decir "existe al menos un número natural, al que designaremos con el símbolo "1")
  • A cada número natural se le puede asociar otro número natural distinto llamado consecuente

Utilizaré el apostrofe ' para designar a tal consecuente. De este modo, el consecuente de 1 es 1'. El consecuente de 1' se designará como 1'', el siguiente 1''',... Por comodidad, nos referiremos a dichos números con los símbolos "2","3","4",...

Tenemos ya definidos el "1" y el "2". Necesitamos ahora definir la suma. Lo haremos de la siguiente manera:

  • a+1=a'
  • a+2=a''
  • a+3=a'''
  • ...

Siendo "a" cualquier número natural.

Lo que hemos hecho es definir la suma "+1", seguidamente hemos definido la suma "+2", luego "+3", y así, sucesivamente, podemos definir la suma de cualesquiera dos números naturales. Sabiendo ahora que a+1=a', al ser "a" cualquier natural podría ser 1, y por tanto tendríamos que 1+1=1', pero como hemos dicho anteriormente, 1'=2, luego 1+1=2.

Hemos encontrado dos significados a la expresión que nos ocupaba, y esos significados son diferentes. El primero establece una relación entre ciertos conceptos. El segundo es, en el fondo, poco más que un juego de definiciones (puede llegar a ser mucho más, pero supondría meternos en complicaciones innecesarias). Ocurre que aparentemente hay un paralelismo perfecto entre tales definiciones y el comportamiento de dichos conceptos. De este modo, cuando decimos “1+1=2” podemos significar indistintamente una cosa u otra, o incluso ambas a la vez. No obstante, esto no debiera ser así forzosamente, pues ambos significados son de naturaleza completamente distinta y en principio sería perfectamente posible que ocurriera alguna divergencia entre ambos enfoques. Algo así ocurrió cuando Euclides estableció su quinto postulado, pero esa es otra historia.

8 comentarios. Haz el tuyo.:

Agua dijo...

Espera, que te lo pongo más fácil:

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Principia_Mathematica_theorem_54-43.png

Agua dijo...

Ya en serio...yo estas abstracciones de algo que en realidad nació en circunstancias bastante simples no termino de asimilarlos.

Para mí es algo tan sencillo como que se llamó 2 a cuando había algo y otro igual que ese algo.

Y así sucesivamente...3, 4, ...

Herodoto dijo...

Ah, los principia, del bueno de Russell... no me había olvidado de ellos, pero, ni lo he leido, ni creo que tuviera capacidad para entenderlo en caso de ponerme.

De todos modos deberás reconocer que detrás del tema hay más que una asignación de nombres a algo que era necesario nombrar. Piensa en que, por ejemplo, 2+2=4, pero 1+3=4 también. Si solo fuesen nombres ¿como explicarías esa coincidencia? tiene que haber algo más.

Agua dijo...

Pues claro que hay coincidencia. Pues depende de si eliges agrupar conjuntos nombrados de una forma. 2+2, o conjuntos distintos, 1+3, nombrados consecuentemente de otra. Dentro de 4 hay distintas formas de agrupar elementos repetidos consecuentemente nombrados según esas veces que se repita su elemento coincidente.

Sobre los principia...yo ni lo voy a intentar, que hasta se me antojan un quedarse con la peña o un momento de ofuscación XDDDD

Herodoto dijo...

Agua, no estoy seguro de si lo que voy a poner responde a tus cuestiónes, si no es así me lo dices. En cualquier caso, siempre es buena ocasión para recordar a Kant :)

Podría pensarse al principio que la proposición: 7 + 5 = 12, es una proposición meramente analítica, que se sigue del concepto de una suma de siete y de cinco, según el principio de contradicción. Pero, cuando se considera más de cerca, se encuentra que el concepto de la suma de 7 y 5 no encierra nada más que la reunión de ambos números en uno sólo, con lo cual no se piensa de ningún modo cuál sea ese número único que comprende los otros dos. El concepto de doce no es, en modo alguno, pensado ya en el pensamiento de aquella reunión de siete y cinco, y por mucho que analice mi concepto de una suma semejante posible, no encontraré en él el número doce. Hay que salir de esos conceptos, ayudándose con la intuición que corresponde a uno de ellos, por ejemplo, los cinco dedos o bien (como Segner en su Aritmética) cinco puntos, y así poco a poco añadir las unidades del cinco, dado en la intuición, al concepto del siete. Pues tomo primero el número 7 y, ayudándome como intuición de los dedos de mi mano para el concepto del 5, añado las unidades, que antes había recogido para constituir el número 5, poco a poco al número 7, siguiendo mi imagen, y así veo surgir el número 12. Que 5 ha de añadirse a 7, es cierto que lo he pensado en el concepto de una suma = 7 + 5; pero no que esa suma sea igual al número 12. La proposición aritmética es, por tanto, siempre sintética y de esto se convence uno con tanta mayor claridad cuanto mayores son los números que se toman, pues entonces se advierte claramente que por muchas vueltas que le demos a nuestros conceptos, no podemos nunca encontrar la suma por medio del mero análisis de nuestros conceptos y sin ayuda de la intuición.

Kant, Crítica de la Razón Pura (Introducción).

http://www.planetalibro.com.ar/ebooks/eam/ebook_view.php?ebooks_books_id=109

Agua dijo...

Te confieso una cosa...yo soy ferviente admiradora de los binarios XDDDD

En serio...porque representan el sí y el no, o cualquiera de las infinitas dualidades de las que nuestro universo parte y se construye ;)


Permíteme un chiste para amenizar la noche del sábado (día que no se me ha dado especialmente bien, dicho sea de paso):

En este mundo existen 10 tipos de personas...

...las que saben binarios y las que no.

Herodoto dijo...

Nada tiene que ver con lo que dices, pero hace unos días leí tambien un chiste, en el jueves, que me hizo mucha gracia y me lo has recordado. En una viñeta un hombre habla a otro sobre un tema indeterminado diciendo "bueno, eso que dices tiene muchos matices, por ejemplo..." a lo que el otro le replica "a mi no me des matices, dame blanco o negro". Como comentario de fondo la viñeta decía "Matices ser confusos, hombre blanco no gustar".

Espero que mañana se te de mejor. Un abrazo.

Herodoto dijo...

Me han dicho que de mi post se desprende que hay distintos tipos de suma matemática. Aunque no llego a entender del todo tal réplica, quisiera aclarar una cosa para evitar malentendidos.

La suma de numeros naturales es una operación definida con absoluta precisión, se llegue como se llegue a ella. No puede haber dos tipos de suma de naturales diferentes. Aun si suposieramos que los hay, nos encontraríamos de inmediato con el absurdo, pues nos veríamos forzados a concluir que son equivalentes y matemáticamente indistinguibles, por tanto, matemáticamente el mismo.